Question

已知，是函数的两个零点，其中常数，，设．

（Ⅰ）用，表示，；

（Ⅱ）求证：；

（Ⅲ）求证：对任意的．

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析，（Ⅲ）详见解析.

【解析】

试题（Ⅰ）由题意得：，．因为，所以．.对抽象的求和符号具体化处理,是解答本题的关键.（Ⅱ）而

，（Ⅲ）用数学归纳法证明有关自然数的命题. （1）当时，由（Ⅰ）问知是整数，结论成立．（2）假设当（）时结论成立，即都是整数，由（Ⅱ）问知．即时，结论也成立．

【解析】
（Ⅰ）由，．

因为，所以．

． 3分

（Ⅱ）由，得

．

即，同理，．

所以．

所以． 8分

（Ⅲ）用数学归纳法证明．

（1）当时，由（Ⅰ）问知是整数，结论成立．

（2）假设当（）时结论成立，即都是整数．

由，得．

即．

所以，．

所以．

即．

由都是整数，且，，所以也是整数．

即时，结论也成立．

由（1）（2）可知，对于一切，的值都是整数． 13分