Question

已知函数在区间上的最大值为，最小值为，记

（1）求实数、的值；

（2）若不等式成立，求实数的取值范围；

（3）对于任意满足的自变量，，，，，，如果存在一个常数，使得定义在区间上的一个函数，有恒成立，则称为区间上的有界变差函数，试判断是否区间上的有界变差函数，若是，求出的最小值；若不是，请说明理由.

Answer

（1），（2）（3）是有界变差函数;的最小值为

【解析】

（1）由的对称轴得在区间[上是增函数，得方程组求出，即可；（2）由（1）求出的表达式，解不等式求出即可；（3）由的表达式得为上的单调递增函数，根据有界变差函数的概念判断即可.

（1），

又，在区间上是增函数，

故，，

解得：，.

（2）由（1）得：，

故是偶函数，

不等式可化为，

解得：.

（3），

为上单调递减，上的单调递增函数，

则对于任意满足的自变量，，，，，

有

，

存在常数，使得.

函数为区间上的有界变差函数.即的最小值为.