Question

设，为双曲线的左、右焦点，点为双曲线上一点，若的重心和内心的连线与轴垂直，则双曲线的离心率为(    )

A. B. C. D.

Answer

A

【解析】

设的重心和内心分别为，则．设，根据双曲线的定义和圆的切线的性质可得，于是，，所以．然后由点在双曲线上可得，于是可得离心率．

画出图形如图所示，

设的重心和内心分别为，且圆与的三边分别切于点，由切线的性质可得．

不妨设点在第一象限内，

∵是的重心，为的中点，

∴，

∴点坐标为．

由双曲线的定义可得，

又，

∴，

∴为双曲线的右顶点．

又是的内心，

∴．

设点的坐标为，则．

由题意得轴，

∴，故，

∴点坐标为．

∵点在双曲线上，

∴，整理得，

∴．

故选A．