Question

已知椭圆经过点离心率.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）经过椭圆左焦点的直线(不经过点且不与轴重合)与椭圆交于两点，与直线:交于点，记直线的斜率分别为.则是否存在常数，使得向量共线？若存在求出的值；若不存在，说明理由.

Answer

（1）；（2）2.

【解析】

（1）根据椭圆经过点，离心率，结合性质 ，列出关于 、 、的方程组，求出 、，即可得结果；（2）直线的方程为， 代入椭圆方程整理得，求得的坐标为，求出 ,利用韦达定理化简可得，从而可得结果.

（1）由在椭圆上，.①

由已知得，

又，.②

②代入①解得.

椭圆的方程为.

（2）假设存在常数，使得向量共线，

，即.

由题意可设的斜率为，

则直线的方程为，③

代入椭圆方程并整理，得，

设，则有

，.④

在方程③中令得，的坐标为.

从而，，.

, ⑤

④代入⑤得，

又，.

故存在常数符合题意.