Question

已知函数，且．

求定义域；

若函数的反函数是其本身，求a的值；

求函数的值域．

Answer

(1)； (2) ；(3) 当时，函数的值域是；当时，函数的值域是．

【解析】

（1）由函数解析式的特征得到关于的不等式，解不等式可得所求结果；（2）求出函数的反函数，利用条件中给出的相等关系式求出的值；（3）先求出函数的定义域，然后通过分类讨论得到函数的值域即可．

（1）由，得，

解得；

所以函数的定义域为．

（2）由，且，解得，

互换，得，

所以函数的反函数为．

由于函数的反函数是其本身，

所以．

（3）由题意得

，

由，得，

∴函数的定义域为．

∵，当且仅当时等号成立，

∴，

故的取值范围是．

①当时，，

∴函数的值域是．

②当时，，

∴函数的值域是．

综上可得，当时，函数的值域是；当时，函数的值域是．