Question

如图1，在矩形中，，，点、分别在线段、上，且，，现将沿折到的位置，连结，，如图2

（1）证明：；

（2）记平面与平面的交线为.若二面角为，求与平面所成角的正弦值.

Answer

（1）证明见解析 （2）

【解析】

(1)建立坐标系证明，再由线面垂直的判定定理以及线面垂直的性质证明；

(2)根据公理得到平面与平面的交线，再根据二面角定义得到二面角的平面角，建立空间直角坐标系，利用向量法求与平面所成角的正弦值.

【解析】
（1）证明：如图，线段交于点

在中，由，，

以点A为坐标原点，建立直角坐标系，则，

即

，从而有，，

即在图2中有，，，平面

平面

平面，；

（2）延长，交于点，连接

根据公理得到直线即为，再根据二面角定义得到.

在平面内过点作底面垂线，为原点，分别以、、及所作为轴、轴、轴建立空间直角坐标

则，，，，

，，，

设平面的一个法向量为，

由，

取，得.

与平面所成角的正弦值为.