Question

已知函数在处的切线与直线平行.

（1）求实数的值；

（2）若函数在上恰有两个零点，求实数的取值范围.

（3）记函数，设是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数的最大值.

Answer

（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）利用导数和切线的斜率列方程，解方程求得的值.

（2）由（1）求得的解析式.构造函数，利用导数研究的单调性，以及极值，结合在上恰有两个零点列不等式组，解不等式组求得的取值范围.

（3）利用导数，结合根与系数关系，求得两个极值点的关系式，将表示为只含的表达式，由此利用导数求得的最小值，由此求得的取值范围.

（1），

∵函数在 处的切线与直线平行，

∴，解得；

（2）由（1）得，

∴函数，

令，则，

令得，，列表得：

1

（1，2）

2

0

0

单调递减

极小值

单调递增

∴当时，的极小值为，又，

∵函数在上恰有两个零点

∴即，解得.

（3），∴，

令得，

∵，是的极值点，∴，，∴，

∵，∴解得：，

∴，

令，

则，∴在上单调递减；

∴当时，∴的最大值为.