Question

已知函数f(x)=()^|x|,若函数g(x)=f(x﹣1)+a(e^x﹣1+e^﹣x+1)存在最大值M,则实数a的取值范围为_____

Answer

a≤0

【解析】

由函数f(x)=()|x|对称性和单调性可得f(x﹣1)的对称性和单调性，由h(x)=ex﹣1+e﹣x+1的对称性和单调性，通过讨论得g(x)=f(x﹣1)+a(ex﹣1+e﹣x+1)得对称性和单调性，利用对称性和单调性可得结果.

显然f(x)=()|x|是偶函数,且f(x)在上单调递减,

故y=f(x﹣1)的函数图象关于直线x=1对称,且y=f(x﹣1)在(﹣∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.

令h(x)=ex﹣1+e﹣x+1,则h(1+x)=ex+e﹣x,h(1﹣x)=e﹣x+ex,故h(1﹣x)=h(1+x),

∴h(x)的图象关于直线x=1对称,

故g(x)=f(x)+ah(x)的图象关于直线x=1对称.

∵g(x)由最大值M,∴g(x)在[1,+∞)上有最大值M.

h′(x)=ex﹣1,

∴x>1时,h′(x)>0,∴h(x)在[1,+∞)上单调递增,

(1)若a≤0,则g(x)=f(x﹣1)+ah(x)在[1,+∞)上单调递减,

故g(x)存在最大值,符合题意.

(2)若a>0,当x≥1时,g′(x)=﹣()x﹣1•ln2+a(ex﹣1),

显然g′(x)是增函数,故g′(x)≥g′(1)=﹣1,

又x→+∞时,g′(x)→+∞,故存在x0∈(1,+∞),使得当x>x0时,g′(x)>0,

∴g(x)在(x0,+∞)上单调递增,故g(x)不存在最大值,不符合题意.

综上,a≤0.

故答案为：a≤0