Question

如图,在六棱锥P﹣ABCDEF中,六边形ABCDEF为正六边形,平面PAB⊥平面ABCDEF,AB=1,PA,PB=2.

(1)求证:PA⊥平面ABCDEF;

(2)求直线PD与平面PAE所成角的正弦值.

Answer

(Ⅰ)见解析 (Ⅱ).

【解析】

(1)利用勾股定理可得PA⊥AB，根据面面垂直的性质定理可证PA⊥平面ABCDEF，

(2) 以A为原点,AB为x轴,AE为y轴,AP为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量可求得结果.

(1)证明:∵AB=1,PA,PB=2.

∴AB2+PA2=PB2,∴PA⊥AB,

∵平面PAB⊥平面ABCDEF,平面PAB∩平面ABCDEF=AB,

∴PA⊥平面ABCDEF.

(2)解:∵在六棱锥P﹣ABCDEF中,六边形ABCDEF为正六边形,

∴AB⊥AE,

以A为原点,AB为x轴,AE为y轴,AP为z轴,建立空间直角坐标系,

P(0,0,),D(1,,0),(1,,),

平面PAE的法向量(1,0,0),

设直线PD与平面PAE所成角为θ,

则sinθ.

∴直线PD与平面PAE所成角的正弦值为.