Question

某中学的甲、乙、丙三名同学参加高校自主招生考试，每位同学彼此独立的从四所高校中选2所.

（Ⅰ）求甲、乙、丙三名同学都选高校的概率；

（Ⅱ）若已知甲同学特别喜欢高校，他必选校，另在三校中再随机选1所；而同学乙和丙对四所高校没有偏爱，因此他们每人在四所高校中随机选2所.

（ⅰ）求甲同学选高校且乙、丙都未选高校的概率；

（ⅱ）记为甲、乙、丙三名同学中选校的人数，求随机变量的分布列及数学期望.

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）（ⅰ）（ⅱ）分布列见解析，期望为.

【解析】

（Ⅰ）先根据古典概型概率求甲同学选高校的概率，同理可得乙、丙同学选高校的概率，最后根据独立事件概率乘法公式得结果，（Ⅱ）（ⅰ）先根据古典概型概率求甲同学选高校的概率以及乙、丙未选高校的概率，最后根据独立事件概率乘法公式得结果，（ⅱ）先确定随机变量的取法，再分别求对应概率，列表得分布列，最后根据数学期望公式得结果.

（Ⅰ）甲从四所高校中选2所，共有AB,AC,AD,BC,BD,CD六种方法，

甲同学都选高校，共有AD,BD,CD三种方法，甲同学选高校的概率为，

因此乙、丙同学选高校的概率皆为，

因为每位同学彼此独立，所以甲、乙、丙三名同学都选高校的概率为

（Ⅱ）（ⅰ）甲同学必选校且选高校的概率为，乙未选高校的概率为，丙未选高校的概率为，因为每位同学彼此独立，所以甲同学选高校且乙、丙都未选高校的概率，

（ⅱ）

因此，，

，

，

即分布列为

0

1

2

3

P

因此数学期望为