Question

已知函数f(x),g(x)=|xlnx﹣ax²|,a.

(1)讨论f(x)的单调性;

(2)若g(x)在区间(1,e)有极小值,求a的取值范围.

Answer

(1) x∈(0,e)时, f(x)单调递增;x∈(e,+∞)时,函数f(x)单调递减. (2) a∈.

【解析】

(1)利用导数的符号可得单调性；

(2)根据(1) 可得:，结合a，可得g(x)=ax2﹣xlnx.a.x∈(1,e).通过两次求导后，讨论可得结果.

(1)函数f(x),x∈(0,+∞).

f′(x).

∴x∈(0,e)时,f′(x)>0,此时函数f(x)单调递增;x∈(e,+∞)时,f′(x)<0,此时函数f(x)单调递减.

(2)由(1)可得:.

g(x)=|xlnx﹣ax2|,a.x∈(1,e).

∴|a|=a,

∴g(x)=ax2﹣xlnx.a.x∈(1,e).

g′(x)=2ax﹣lnx﹣1=h(x),

h′(x)=2a.

①时,1e.此时x时,函数h(x)取得极小值,h()=lnln(2a)<0.

h(1)=2a﹣1<0,h(e)=2ae﹣2>0.

∴存在x0∈(,e),使得g′(x0)=2ax0﹣lnx0﹣1=0,

此时,函数g(x)在(1,x0)上单调递减,在(x0,e)上单调递增.

即此时g(x)在区间(1,e)有极小值,a的取值范围为a∈.

②a时,01.h′(x)>0,函数h(x)在(1,e)上单调递增,h(1)=2a﹣1≥0,

∴g′(x)>0,∴函数g(x)在(1,e)上单调递增,无极值,舍去.