Question

如图，某城市设立以城中心为圆心、公里为半径的圆形保护区，从保护区边缘起，在城中心正东方向上有一条高速公路、西南方向上有一条一级公路，现要在保护区边缘PQ弧上选择一点A作为出口，建一条连接两条公路且与圆相切的直道．已知通往一级公路的道路每公里造价为万元，通往高速公路的道路每公里造价是万元，其中为常数，设，总造价为万元．

（1）把表示成的函数，并求出定义域；

（2）当时，如何确定A点的位置才能使得总造价最低？

Answer

（1），定义域为：，（2）A点在O东偏南的方向上，总造价最低．

【解析】

（1）∵与圆O相切于A，

∴OA⊥，在中，，

同理，

∴，

∴，

定义域为：

（2）

∵，∴，

∴

当且仅当时取等号，即，

又∵，∴，∴