Question

已知椭圆的右顶点、上顶点分别为A、B，坐标原点到直线AB的距离为，且.

（1）求椭圆C的方程；

（2）过椭圆C的左焦点的直线交椭圆于M、N两点，且该椭圆上存在点P，使得四边形MONP（图形上字母按此顺序排列）恰好为平行四边形，求直线的方程.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

（1）首先求直线方程，表示原点到直线的距离，再根据，联立解求椭圆方程；

（2）直线，与椭圆方程联立，表示 ，，

再利用中点坐标公式表示点的坐标，根据点在椭圆上，代入椭圆方程求

(1) 设直线AB的方程为，

原点到AB的距离为，又，

解得，

故椭圆的方程为；

（2）由（1）得椭圆的左焦点，

易知直线的斜率不为0，可设直线，设，

因为MOPN为平行四边形，

得 ，

联立，

，

因为点P在椭圆上，有

所以直线的方程为.