Question

已知等比数列的首项，数列前项和记为，前项积记为.

(1) 若，求等比数列的公比；

(2) 在(1)的条件下，判断与的大小；并求为何值时，取得最大值；

(3) 在(1)的条件下，证明：若数列中的任意相邻三项按从小到大排列，则总可以使其成等差数列；若所有这些等差数列的公差按从小到大的顺序依次记为，则数列为等比数列.

Answer

（1）；（2），当时,最大；（3）证明见解析.

【解析】

（1），求和通项公式；

（2）根据定义可知，然后根据公式求，即时的最大值，再根据，判断的最大值；

（3）由（1）可知当为奇数时，中的任意相邻三项由小到大排列是，若成等差数列，可求是否成立，并求公差，当是偶数时,设中的任意相邻三项按从小到大排列为，判断是否成等差数列，并求公差，并按定义判断数列是否为等比数列

(1) ，解得，；

(2).又,

当时,；当时,.当时,取得最大值,

又,∴的最大值是和中的较大者,

又，.因此当时,最大.

(3),随增大而减小,奇数项均正,偶数项均负,

①当是奇数时,设中的任意相邻三项按从小到大排列为,

则,,

,因此成等差数列,

公差；

②当是偶数时,设中的任意相邻三项按从小到大排列为,

则,.

∴,因此成等差数列,

公差,

综上可知,中的任意相邻三项按从小到大排列,总可以使其成等差数列,

且, ∵,∴数列为等比数列.