Question

已知函数,其中,且曲线在点处的切线与直线垂直,

(Ⅰ)求a的值;

(Ⅱ)求函数的单调区间.

Answer

(Ⅰ) . (Ⅱ) 单调递减区间为,单调递增区间为.

【解析】

(Ⅰ) 根据导数的几何意义先求出切线的斜率，再根据切线与直线垂直，斜率之积为-1，即可求出；

(Ⅱ)先求出函数的定义域，在定义域内解不等式，可得增区间，解不等式可得减区间．

(Ⅰ)∵，∴．∴．

∴曲线在点处的切线的斜率为．

∵曲线在点处的切线与直线垂直，

∴．∴．

(Ⅱ)由(Ⅰ)，知．∴．

∴．

由题意知，函数定义域为．

所以，当时，，解得；，解得．

∴函数的单调递减区间为，单调递增区间为．