Question

如图，在三棱柱ABC−中，平面ABC，D，E，F，G分别为，AC，，的中点，AB=BC=，AC==2．

（1）求证：AC⊥平面BEF；

（2）求二面角B−CD−C₁的余弦值；

（3）证明：直线FG与平面BCD相交．

Answer

(1)见解析（2）；（3）见解析．

【解析】

（1）由等腰三角形性质得，由线面垂直性质得,由三棱柱性质可得，因此，最后根据线面垂直判定定理得结论，（2）根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解得平面BCD一个法向量，根据向量数量积求得两法向量夹角，再根据二面角与法向量夹角相等或互补关系求结果，（3）根据平面BCD一个法向量与直线FG方向向量数量积不为零，可得结论.

（Ⅰ）在三棱柱ABC-A1B1C1中，

∵CC1⊥平面ABC，

∴四边形A1ACC1为矩形．

又E，F分别为AC，A1C1的中点，

∴AC⊥EF．

∵AB=BC．

∴AC⊥BE，

∴AC⊥平面BEF．

（Ⅱ）由（I）知AC⊥EF，AC⊥BE，EF∥CC1．

又CC1⊥平面ABC，∴EF⊥平面ABC．

∵BE平面ABC，∴EF⊥BE．

如图建立空间直角坐称系E-xyz．

由题意得B（0，2，0），C（-1，0，0），D（1，0，1），F（0，0，2），G（0，2，1）．

∴，

设平面BCD的法向量为，

∴，∴，

令a=2，则b=-1，c=-4，

∴平面BCD的法向量，

又∵平面CDC1的法向量为，

∴．

由图可得二面角B-CD-C1为钝角，所以二面角B-CD-C1的余弦值为．

（Ⅲ）平面BCD的法向量为，∵G（0，2，1），F（0，0，2），

∴，∴，∴与不垂直，

∴GF与平面BCD不平行且不在平面BCD内，∴GF与平面BCD相交．