Question

已知函数 .   

（1）求函数的单调区间；

（2）若存在，使成立，求整数的最小值.

Answer

（1）见解析（2）5.

【解析】

试题(1)求导，分类讨论时三种情况的单调性(2)分离含参量，构造新函数，，求导算出零点的范围，从而求出结果

解析：（1）由题意可知，，，

方程对应的，

当，即时，当时，，

∴在上单调递减；

当时，方程的两根为，

且 ，

此时，在上，函数单调递增，

在上，函数单调递减；

当时，，，

此时当，单调递增，

当时，，单调递减；

综上：当时，，单调递增，当时， 单调递减；

当时，在上单调递增，

在上单调递减；

当时，在上单调递减；

（2）原式等价于，

即存在，使成立．

设，，

则，

设，

则，∴在上单调递增．

又，根据零点存在性定理，可知在上有唯一零点，设该零点为， 则，且，即，

∴

由题意可知，又，，∴的最小值为.