Question

已知直线与抛物线有一个公共点.

（1）求抛物线方程；

（2）斜率不为0的直线经过抛物线的焦点，交抛物线于两点，.抛物线上是否存在两点，关于直线对称？若存在，求出的斜率的取值范围；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）（2）抛物线上不存在两点，关于过焦点的直线对称；详见解析

【解析】

（1）联立直线与抛物线方程，消去得，因为直线与抛物相切，所以即可求出参数的值.

（2）设直线的方程为.假设抛物线上存在两点，关于直线对称，可设直线的方程为，联立直线与抛物线方程，消元，设，，中点为.列出韦达定理表示出点坐标，其代入方程，即可判断.

【解析】
（1）由题联立方程组消去得

因为直线与抛物相切，所以解得或（舍）

所以抛物线的方程为.

（2）由（1）可知，所以可设直线的方程为.

假设抛物线上存在两点，关于直线对称，

可设直线的方程为，

联立方程组消去得

由，得，

设，，中点为.

则，，

因为在直线上，所以将其代入方程，

得，即，代入，得，

所以无解，故不存在.

即抛物线上不存在两点，关于过焦点的直线对称.