Question

已知圆的圆心为，为圆上任意一点，，线段的垂直平分线交于点.

（1）求点的轨迹方程；

（2）记点的轨迹为曲线，点，.若点为直线上一动点，且不在轴上，直线、分别交曲线于、两点，求四边形面积的最大值.

Answer

（1）（2）

【解析】

（1）线段的垂直平分线交于点，则.所以，即点在以、为焦点，长轴长为4的椭圆上，即可求出轨迹方程.

（2）设，由于椭圆关于轴对称，所以不妨设则直线的方程为：，直线的方程为：.设，，联立直线方程与椭圆方程，即可求出，的坐标，而

再用基本不等式的性质及函数的性质求出面积最值.

【解析】
（1）由题意，线段的垂直平分线交于点，则.

所以，

即点在以、为焦点，长轴长为4的椭圆上，

所以，，

故点的轨迹方程为：；

（2）设，由于椭圆关于轴对称，所以不妨设

则直线的方程为：，直线的方程为：.

设，

由得，则，

即，于是.

同理可得：，

所以

设，则，则

在单调递减，故.