Question

如图，在底面为矩形的四棱锥中，平面平面.

（1）证明：；

（2）若，，设为中点，求直线与平面所成角的余弦值.

Answer

(1)证明见解析；(2)

【解析】

（1）由平面平面可得面，从而可得；

（2）建立空间直角坐标系，求出向量及面法向量，代入公式即可得到结果.

（1）依题意，面面，，

∵面，面面，

∴面.

又面，

∴.

（2）解法一：向量法

在中，取中点，∵，

∴，∴面，

以为坐标原点，分别以为轴，过点且平行于的直线为轴，所在的直线为轴，建立如图空间直角坐标系，

设，∵，∴，

∴，，，，，

∴，，.

设面法向量为，

则，解得.

设直线与平面所成角为，

则，

因为，∴.

所以直线与平面所成角的余弦值为.

（2）解法二：几何法

过作交于点，则为中点，

过作的平行线，过作的平行线，交点为，连结，

过作交于点，连结，

连结，取中点，连结，，

四边形为矩形，所以面，所以，

又，所以面，

所以为线与面所成的角.

令，则，，，

由同一个三角形面积相等可得，

为直角三角形，由勾股定理可得，

所以，

又因为为锐角，所以，

所以直线与平面所成角的余弦值为.