Question

筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图1）．因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用（如图2）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．因筒车上盛水筒的运动具有周期性，可以考虑利用三角函数模型刻画盛水筒（视为质点）的运动规律．将筒车抽象为一个几何图形，建立直角坐标系（如图3）．设经过t秒后，筒车上的某个盛水筒从点P₀运动到点P．由筒车的工作原理可知，这个盛水筒距离水面的高度H(单位: )，由以下量所决定：筒车转轮的中心O到水面的距离h，筒车的半径r，筒车转动的角速度ω（单位: ），盛水筒的初始位置P₀以及所经过的时间t(单位: )．已知r=3，h=2，筒车每分钟转动(按逆时针方向)1.5圈， 点P₀距离水面的高度为3.5，若盛水筒M从点P₀开始计算时间，则至少需要经过_______就可到达最高点；若将点距离水面的高度表示为时间的函数，则此函数表达式为_________．

          

         图1                                   图2                                                图3

Answer

【解析】

由题设条件求出初始位置与非负半轴的夹角，当第一次到达最高点时，求出所转过的弧度，根据筒车每秒钟转动的弧度，求出第一次到达最高点的时间，即可得出第一空；

由三角函数的定义得出动点的纵坐标，利用纵坐标求出点距离水面的高度，即可得出第二空.

因为点P0距离水面的高度为3.5，则开始时与非负半轴的夹角为

由题意可知，筒车每分钟转动(按逆时针方向)，即筒车每秒钟转动

当第一次到达最高点时，所转过的弧度为，则所用时间为

即若盛水筒M从点P0开始计算时间，则至少需要经过就可到达最高点；

设与非负半轴的夹角为，则

由三角函数的定义可知点的纵坐标为，

则点距离水面的高度的函数为，

故答案为：；