Question

如图，在四棱锥中，平面，四边形为菱形，，，E，F分别为，的中点.

（1）求证：平面；

（2）点G是线段上一动点，若与平面所成最大角的正切值为，求二面角的余弦值.

Answer

（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）取的中点H，连结，证明四边形为平行四边形得到证明.

（2）连结，证明为与平面所成角的平面角得到，以A为原点，如图建立空间直角坐标系，平面的一个法向量为，平面的法向量，计算夹角得到答案.

（1）取的中点H，连结，

∵E，F分别为的中点，∴，，

由题知，，∴，，

∴四边形为平行四边形，∴，

∵平面，且平面，∴平面.

（2）连结，∵四边形为菱形，，

∴是等边三角形，E为中点，

∴，且，

∵平面，平面，∴，，

∴平面，

∵平面，∴，

∴为与平面所成角的平面角，

在中，∵，

∴当最短时，最大，，

∵，∴，

在中，，，∴，

以A为原点，如图建立空间直角坐标系，

则，

则，

∵，∴平面，

∴平面的一个法向量为，

平面的法向量，

则，∴，取，得，

设二面角的平面角为，

则，

∴二面角的余弦值为.