Question

设函数，.

（1）当时，在上恒成立，求实数的取值范围；

（2）当时，若函数在上恰有两个不同的零点，求实数的取值范围.

Answer

（1）；（2）(]

【解析】

试题（1）由 ，由 在（ 上恒成立，得到 ，即 在（1，+∞）上恒成立，构造函数，求出函数的最小值，即可得到实数 的取值范围；
（2）当 时，易得函数 的解析式，由方程的根与对应函数零点的关系，易转化为 在上恰有两个相异实根，利用导数分析函数的单调性，然后根据零点存在定理，构造关于 的不等式组，解不等式组即可得到答案．

试题解析：（1）当时，由得，

∵，∴，∴有在上恒成立，

令，由得，

当，∴在上为减函数，在上为增函数，

∴，∴实数的取值范围为；

（2）当时，函数，

在上恰有两个不同的零点，即在上恰有两个不同的零点，

令，则，

当，；当，，

∴在上单减，在上单增，，

又，如图所示，所以实数的取值范围为(]