Question

设椭圆方程为，过点的直线l交椭圆于点A，B，O是坐标原点，点P满足，点N的坐标为，当l绕点M旋转时，求：

（1）动点P的轨迹方程；

（2）的最小值与最大值.

Answer

（1）；（2）当时，最小值为；当时，最大值为.

【解析】

（1）设出直线的方程和点A、B的坐标，联立直线与椭圆的方程，即可求出，然后根据求出点P的坐标，消去参数，即可得到动点P的轨迹方程，再检验当k不存在时，是否也满足方程即可；

（2）根据点P的轨迹方程求得的取值范围，再根据两点间的距离公式求出，消元，由二次函数的性质即可求出的最小值与最大值．

（1）直线l过点，设其斜率为k，则l的方程为．

设，，由题设可得点A、B的坐标是方程组的解．

将①代入②并化简得，所以

于是，，

设点P的坐标为，

则消去参数k得，③

当k不存在时，A、B中点为坐标原点，也满足方程③，

所以点P的轨迹方程为．

（2）点P的轨迹方变形为，

知，即．

所以

，

故当时，取得最小值，最小值为．

当时，取得最大值，最大值为．