Question

已知函数，若关于x的方程有四个不等实根，且恒成立，则实数的最小值为________.

Answer

【解析】

函数是分段函数，通过求导分析得到函数在上为增函数，在上为增函数，在上为减函数，求得函数在上，当时有一个极大值1，所以要使方程有四个实数根，的值一个要在内，一个在内，然后运用二次函数的图象及二次方程根的关系列式求解和的取值范围，从而求出的最小值.

， 
当时，恒成立，所以在上为增函数，
当时，， 
由，得，当时，，为增函数， 
当时，，为减函数， 
所以函数的极大值为， 
极小值为:， 如图：

令，由韦达定理得:，， 

（1）因为当，且时，方程没有实根， 故舍去.

（2）又当，且（不妨设）， 由图象可得至多有三个实根，
由此可得方程至多有三个实根， 不符合题意.

（3）若是方程的根，代入可得，所以，解得，而根据图象可知无解，和都只有一个根，不符合题意.

故要使方程有四个不等实数根， 
则方程应有两个不相同的正实根， 

即，且， 此时，且一个根在内，一个根在内， 
再令， 
因为，① 
，

则，② 
则只需，即， 
所以，③ 

将③式平方可得：，④
由①②解得:，⑤ 
由④得到:，由④⑤得到:， 
所以， 
.
所以本题答案为.