Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，，点O为AD的中点，且.

（1）求证：平面PAD；

（2）若，求平面PBC与平面PAD所成二面角的正弦值.

Answer

（1）见证明；（2）

【解析】

（1）连结OP，BD，先证，则，设，可表示OB，PO，由勾股定理可得，从而根据线面垂直的判定定理证明结论；

（2）根据条件证明，可得OA，OB，OP所在的直线两两互相垂直，故以OA，OB，OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立坐标系，由平面PAD，故可以取与平行的向量作为平面PAD的法向量，再利用空间向量法求出平面PBC的法向量，从而利用向量的夹角公式求得结果.

（1）证明：连结OP，BD，因为底面ABCD为菱形，，

故，又O为AD的中点，故．

在中，，O为AD的中点，所以．

设，则，，

因为，

所以．（也可通过来证明），

又因为，平面PAD，平面PAD，

所以平面PAD；

（2）因为，，

，平面POB，平面POB，

所以平面POB，又平面POB，所以．

由（1）得平面PAD，又平面PAD，故有，又由，

所以OA，OB，OP所在的直线两两互相垂直．

故以O为坐标原点，以OA，OB，OP所在直线为x轴，y轴，z轴如图建系．

设，则，，，．

所以，，，

由（1）知平面PAD，

故可以取与平行的向量作为平面PAD的法向量．

设平面PBC的法向量为，则，

令，所以．

设平面PBC与平面PAD所成二面角为θ，则，

则，所以平面PBC与平面PAD所成二面角的正弦值为．