Question

新中国昂首阔步地走进2019年，迎来了她70岁华诞.某平台组织了“伟大的复兴之路一新中国70周年知识问答”活动，规则如下：共有30道单选题，每题4个选项中只有一个正确，每答对一题获得5颗红星，每答错一题反扣2颗红星；若放弃此题，则红星数无变化.答题所获得的红星可用来兑换神秘礼品，红星数越多奖品等级越高.小强参加该活动，其中有些题目会做，有些题目可以排除若干错误选项，其余的题目则完全不会.

（1）请问：对于完全不会的题目，小强应该随机从4个选项中选一个作答，还是选择放弃？（利用统计知识说明理由）

（2）若小强有12道题目会做，剩下的题目中，可以排除一个错误选项、可以排除两个错误选项和完全不会的题目的数量比是.请问：小强在本次活动中可以获得最多红星数的期望是多少？

Answer

（1）选择放弃作答；（2）72

【解析】

（1）对于任一道完全不会的题目，若选择放弃，则获得的红星数为0，若选择作答，设小明从四个选项中选一个作答获得的红星数为ξ，ξ取5，-2，列出其分布列，求出期望即可；

（2）依题意，分别求出可以排除一个错误选项、可以排除两个错误选项的每道题目的可获得红星数的期望，由（1）知完全不会的题目可选择放弃，再求每类题目数与该类题目每道题的期望的乘积，最终求和即可得到结果.

（1）对于任一道完全不会的题目，若选择放弃，则获得的红星数为0；

若选择作答，设小明从四个选项中选一个作答获得的红星数为ξ，其分布列为：

ξ

5

P

所以，故应该选择放弃作答；

（2）由题意知，可以排除一个选项的题目有道，

设这9道题目中每道题小明从四个选项中选一个作答获得的红星数为X，其分布列为：

X

5

P

所以：；

可以排除两个选项的题目有道，

设这6道题目中每道题小明从四个选项中选一个作答获得的红星数为Y，其分布列为：

Y

5

P

；

完全不会的题目有道，

由（1）知应选择放弃，这3道题中每道题得到的红星数的期望为0．

因此，小明在本次活动中可以获得的最多红星数的期望是：

．