Question

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的短轴长为2，倾斜角为的直线l与椭圆C相交于A，B两点，线段AB的中点为M，且点M与坐标原点O连线的斜率为.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若，P是以AB为直径的圆上的任意一点，求证：.

Answer

（1）；（2）见证明

【解析】

（1）由已知得，利用点差法和题设得到关于，的表达式，从而得到结果；

（2）设直线，联立椭圆方程得到关于x的一元二次方程，根据弦长公式和判别式可求得，再求出，利用几何关系即可求得结果.

（1）由已知得，

设，，由，

两式相减得，

由已知条件知：，

，

∴，即，

故椭圆C的标准方程为．

（2）设，联立椭圆方程得，

则，

∴，且，．

∵，化简得．

又∵M是弦AB的中点，

∴，故，即．

∵，

∴．