Question

已知函数，，记

（1）证明：有且仅有一个零点；

（2）记的零点为，，若在内有两个不等实根，判断与的大小，并给出对应的证明.

Answer

（1）见证明；（2），证明见解析

【解析】

（1）的零点个数的零点个数，故只需求的单调性，并利用零点存在性定理得到有且仅有唯一零点，从而得证；

（2）本题实质是极点偏移，先根据（1）和题设得到，再确定，，然后用分析法给出证明，要证：，即证，而在上递减，故可证：，又，故即证，即证，接着构造函数，证明其单调性，从而得到结果.

（1）证明：的零点个数的零点个数，

故要证明有且仅有一个零点，即证明有且仅有一个零点．

∵，即在上单增，

又，，

由零点存在性定理知：在上有且仅有唯一零点，

即在上有且仅有一个零点；

（2），当时，，

由（1）知存在使，

故时，；当时，，

因而．

显然当时，，因而在上单增；

当时，，．

因而在上递减；

若在有两个不等实根，，则，，

显然当时，，

而用分析法给出证明，要证：，即证，

而在上递减，故可证：

，又，

故即证，即证．

记，则，

故即证，而，记，

则，，

当时，；时，，

故，

故当时，，

故在上单增，从而当时，，

故得证．