Question

（2017新课标全国Ⅲ理科）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．

（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；

（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D–AE–C的余弦值.

Answer

（1）见解析；（2）.

【解析】

试题（1）利用题意证得二面角的平面角为90°，则可得到面面垂直；

（2）利用题意求得两个半平面的法向量，然后利用二面角的夹角公式可求得二面角D–AE–C的余弦值为.

试题解析：（1）由题设可得，，从而.

又是直角三角形，所以.

取AC的中点O，连接DO,BO,则DO⊥AC,DO=AO.

又由于是正三角形，故.

所以为二面角的平面角.

在中，.

又，所以，

故.

所以平面ACD⊥平面ABC.

（2）由题设及（1）知，两两垂直，以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.则.

由题设知，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，即E为DB的中点，得.

故.

设是平面DAE的法向量，则即

可取.

设是平面AEC的法向量，则同理可取.

则.

所以二面角D-AE-C的余弦值为.