Question

直三棱柱中，，，，F为棱的中点.

（1）求证：；

（2）点M在线段上运动，当三棱锥的体积最大时，求二面角的正弦值.

Answer

（1）证明见解析 （2）

【解析】

（1）在矩形中由平面几何知识证明，再证，然后由线面垂直证明线线垂直．

（2）当三棱锥的体积最大时点M与F重合，如图建立空间直角坐标系，用空间向量法求二面角．

（1）连接，由直三棱柱和，易得面，面，

所以，

又，，，则，又，

∴，，∴，∴，

又，所以面，所以

（2）当三棱锥的体积最大时点M与F重合，如图建立空间直角坐标系，用向量法求二面角．

，，，

设平面的法向量为，平面的法向量为，易知，

，，设，则，解得取，则

记二面角的大小为，则，故.