Question

已知点A是椭圆的上顶点，斜率为的直线交椭圆E于A、M两点，点N在椭圆E上，且；

（1）当时，求的面积；

（2）当时，求证：.

Answer

（1） （2）证明见解析

【解析】

（1）由椭圆对称性确定直线斜率为1，斜率为-1，求出点坐标后可得三角形面积；

（2）由直线方程为求得点坐标（横坐标即可），得，同理得（直线斜率为），利用得的方程，利用函数的知识（导数）证明此方程的解在区间上．

（1）由椭圆对称性知点M、N的纵坐标相等，横坐标互为相反数，且，

由题意，，方程为，于是可以设点其中，于是，解得，

所以.

（2）据题意，直线，联立椭圆E，得：，

即：，则，那么，

同理，知：，

由，得：，即：.

令，则，

所以单调增，又，，

故存在唯一零点，即.