Question

某加油站拟建造如图所示的铁皮储油罐(不计厚度，长度单位为米)，其中储油罐的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，(为圆柱的高，为球的半径，).假设该储油罐的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为千元，半球形部分每平方米建造费用为千元.设该储油罐的建造费用为千元.

(1) 写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；

(2) 若预算为万元，求所能建造的储油罐中的最大值(精确到)，并求此时储油罐的体积(单位: 立方米，精确到立方米).

Answer

(1) ，；(2) (米)，立方米.

【解析】

（1）先利用公式计算两个半球的表面积（不含底）以及圆柱的侧面积，再根据每平方米建造费用可得关于的函数表达式，注意的范围.

（2）根据预算可得关于的不等式，求出其解后可得的最大值，利用公式可求该几何体的体积.

(1) 半球的表面积（不含底），圆柱的侧面积.

于是.

定义域为.

(2) ，即，解得.

，

经计算得(立方米).

故的最大值为(米)，此时储油罐的体积约为立方米.