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某加油站拟建造如图所示的铁皮储油罐(不计厚度,长度单位为米),其中储油罐的中间为...

某加油站拟建造如图所示的铁皮储油罐(不计厚度,长度单位为米),其中储油罐的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,(为圆柱的高,为球的半径,).假设该储油罐的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为千元,半球形部分每平方米建造费用为千元.设该储油罐的建造费用为千元.

(1) 写出关于的函数表达式,并求该函数的定义域;

(2) 若预算为万元,求所能建造的储油罐中的最大值(精确到),并求此时储油罐的体积(单位: 立方米,精确到立方米).

 

(1) ,;(2) (米),立方米. 【解析】 (1)先利用公式计算两个半球的表面积(不含底)以及圆柱的侧面积,再根据每平方米建造费用可得关于的函数表达式,注意的范围. (2)根据预算可得关于的不等式,求出其解后可得的最大值,利用公式可求该几何体的体积. (1) 半球的表面积(不含底),圆柱的侧面积. 于是. 定义域为. (2) ,即,解得. , 经计算得(立方米). 故的最大值为(米),此时储油罐的体积约为立方米.
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