Question

如图,在平面直角坐标系中,过轴正方向上一点任作一直线,与抛物线相交于两点,一条垂直于轴的直线分别与线段和直线交于点.

(1)若,求的值;

(2)若为线段的中点,求证:直线与该抛物线有且仅有一个公共点.

(3)若直线的斜率存在,且与该抛物线有且仅有一个公共点,试问是否一定为线段的中点?说明理由.

Answer

（1）.（2）见解析（3）是的中点.见解析

【解析】

（1）联立方程利用韦达定理得到，，再根据，计算得到答案.

（2）计算.，设在上, 且满足，故, 与联立得, 得到答案.

（3）设，计算得到，，. 与联立得到得到答案.

(1) 设，与联立, 得. 故

从而，根据解得到得或,

舍去负值, 得.

(2) , 故..

设在上, 且满足.

, 故直线的方程为,

而.

故, 与联立得,

故直线与该抛物线有且仅有一个公共点.

(3) 设, 这里, 由(2)知过的与有且仅有一个公共点的斜率存在的直线必为.与相交, 得.

故. , 所以. 与联立,

得, 即, 故.

这样, 即是的中点.