Question

在数列中,若是正整数,且, ,则称为“D-数列”.

(1)举出一个前六项均不为零的“D-数列”(只要求依次写出该数列的前六项);

(2)若“D-数列”中,,,数列满足,,分别判断当时,与的极限是否存在?如果存在,求出其极限值(若不存在不需要交代理由);

(3)证明:任何“D-数列”中总含有无穷多个为零的项.

Answer

（1）（2）的极限不存在.的极限存在.极限值为6 （3）见解析

【解析】

（1）举出一个例子即可

（2）的极限不存在.的极限存在，计算得到，得到答案.

（3）假设中只有有限个零, 则存在, 使得当时, ，当时, 记，计算得到形成了一列严格递减的无穷正整数数列，不能成立，得到证明.

(1)

(2)的极限不存在.的极限存在.

事实上, 因为, , , 当时, .因此当时, .所以.

(3) 反证法, 假设中只有有限个零, 则存在, 使得当时, .

当时, 记

于是, , 故,

而, 从而.

这样形成了一列严格递减的无穷正整数数列, 这不可能,故假设不成立, 中必有无限个.