Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n＝n(n+1)(n∈N^*).

(1)求数列{a_n}的通项公式；

(2)若数列{b_n}满足：，求数列{b_n}的通项公式；

(3)令(n∈N^*)，求数列{c_n}的前n项和T_n.

Answer

（1） ；(2);（3） .

【解析】

（1）数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n（n+1）（n∈N*），n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1．n=1时，a1=S1=2，即可得出;（2）数列{bn}满足：an=，可得n≥2时，an﹣an﹣1==2．n=1时，=a1=2，可得b1;（3）cn===n•3n+n，令数列{n•3n}的前n项和为An，利用错位相减法即可得出An．进而得出数列{cn}的前n项和Tn．

（1）∵数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n（n+1）（n∈N*），

∴n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=n（n+1）﹣n（n﹣1）=2n．

n=1时，a1=S1=2，对于上式也成立．

∴an=2n．

（2）数列{bn}满足：an=+++…+，∴n≥2时，an﹣an﹣1==2．

∴bn=2（3n+1）．

n=1时，=a1=2，可得b1=8，对于上式也成立．

∴bn=2（3n+1）．

（3）cn===n•3n+n，

令数列{n•3n}的前n项和为An，则An=3+2×32+3×33+…+n•3n，

∴3An=32+2×33+…+（n﹣1）•3n+n•3n+1，

∴﹣2An=3+32+…+3n﹣n•3n+1=﹣n•3n+1，

可得An=．

∴数列{cn}的前n项和Tn=+．