Question

已知等比数列的各项均为正数，成等差数列，且满足，数列的前项和，，且.

（1）求数列和的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

（3）设，，的前项和，求证：.

Answer

（1）；（2）当为偶数时，；当为奇数时，（3）证明见解析

【解析】

(1)根据题意列出方程组，求出、，从而得到的通项公式，当时，，化简可得是首项为1的常数列，即可求得的通项公式；(2)分类讨论，当为偶数时，，分别利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和即可，当为奇数时，由可求得结果；(3)裂项法可得，从而求得.

解；（1）因为，所以，

，解得

所以，

当时，，即，

∴是首项为1的常数列，

∴；

（2）

当为偶数时，

当为奇数时，

（3）