Question

已知函数.

（1）求函数的单调递减区间；

（2）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值；

（3）若正实数满足，证明：.

Answer

（1）单调递减区间为（2）（3）证明见解析

【解析】

(1)求出函数的定义域与导数，通过导数的符号求函数的单调区间；(2)问题转化为恒成立，先求，然后分别讨论当和时函数的单调性，根据单调性求的最大值，若最大值小于零，则不等式恒成立，否则不恒成立，由此确定整数的最小值；(3) 由题意得，即，因为均为正实数，令，分析确定其最小值，也就是的最小值，所以解不等式可以确定，命题得证.

【解析】
（1）定义域为

由，即，解得或

∴单调递减区间为.

（2）设

不等式恒成立等价于恒成立，

当时，则，，

所以，在上单调递增，

因为，不符合题意；

当时，

+

0

-

单调递增

极大值

单调递减

设在单调递减且

所以当时，

所以整数的最小值为2；

(3)由题意得，

即，

令，，则，

在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，

所以，令，

则且，解得成立.