Question

已知，，…，是由（）个整数，，…，按任意次序排列而成的数列，数列满足（），，，…，是，，…，按从大到小的顺序排列而成的数列，记.

（1）证明：当为正偶数时，不存在满足（）的数列.

（2）写出（），并用含的式子表示.

（3）利用，证明：及.（参考：.）

Answer

（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析.

【解析】

(1)可用反证法证明,假设存在满足的数列，由条件结合奇数、偶数的概念即可得证；(2)由题意可得，，再由累加法即可得到；

(3)由展开即可证得：

，再由排序定理:乱序之和不小于倒序之和.

（1）若（），

则有，于是.

当为正偶数时，为大于1的正奇数，故不为正整数，

因为，，…，均为正整数，

所以不存在满足（）的数列，

（2）（）.

因为，

于是

.

（3）先证.

①，

这里，（），

因为，，…，为从到按任意次序排列而成，

所以，，…，为从到个整数的集合，

从而，

于是由①，得，

因此，，

即.

再证.

由，

得

因为，

即，

所以，

即.