如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面为菱形，AA1⊥底面ABCD，∠BA...

如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面为菱形，AA1⊥底面ABCD，∠BAD=120°，AB=2，E，F分别为CD，AA1的中点．

（Ⅰ）求证：DF∥平面B1AE；

（Ⅱ）若直线AD1与平面B1AE所成角的正弦值为，求AA1的长；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求二面角B1-AE-D1的正弦值．

（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）2 【解析】（I）取AB1的中点G,连接FG,GE,证明四边形GEDF是平行四边形,可得DFEG,故而DF平面B1AE；（II）建立空间坐标系,求出平面B1AE的法向量,设AA1=t（t＞0）,令sinα=|cos＜，＞|===,求出t；（III）求出两半平面的法向量,计算法向量的夹角得出二面角的大小（Ⅰ）证明：取AB1的中点G,连接FG,GE, ∵,FGA1B1,,DEA1B1, ∴FG=DE,FGDE, ∴GEDF是平行四边形, ∴DFEG, 又DF⊄平面B1AE,EG⊂平面B1AE, ∴DF平面B1AE 【解析】（Ⅱ）在菱形ABCD中, ∵∠BAD=120°, ∴∠ADC=60°, ∴△ACD是等边三角形, ∴AE⊥CD, ∴AE⊥AB, 又AA1⊥平面ABCD, ∴AA1⊥AB，AA1⊥AE, 以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系, 设AA1=t（t＞0）, 则, ∴,, 设平面B1AE的法向量=（x,y,z）,则,即, 不妨取z=-2,得=（t,0,-2）, 设直线AD1与平面B1AE所成的角为α，则sinα=|cos＜，＞|===．解得t=2，即AA1的长为2．（Ⅲ）设平面D1AE的法向量=（x,y,z）, ∵, ∴,即, 不妨取z=1,得=（2,0,1）, 设二面角B1-AE-D1的平面角为θ,则|cosθ|=|cos＜＞|=== ∴,即二面角B1-AE-D1的正弦值为

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考点分析：

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