Question

如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点

（1）证明：；

（2）若为棱上一点，满足，求锐二面角的余弦值.

Answer

（1）证明见详解；（2）

【解析】

（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法证明；
（2）设，由，求出，求出平面ABF的法向量和平面ABP的法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值.

证明：（1）∵在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，

AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点.
∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
B（1，0，0），P（0，0，2），C（2，2，0），E（1，1，1），D（0，2，0），
，，
，

∴；
（2）∵F为棱PC上一点，满足，
∴设，，
则，
，
∵，，

解得，
，
设平面ABF的法向量，
则，取，得，
平面ABP的一个法向量，
设二面角的平面角为，
则，
∴二面角的余弦值为.