Question

设抛物线的焦点为，过点作垂直于轴的直线与抛物线交于，两点，且以线段为直径的圆过点.

(1)求抛物线的方程；

(2)若直线与抛物线交于，两点，点为曲线:上的动点，求面积的最小值.

Answer

(1) ；(2) .

【解析】

（1）由于与轴垂直，因此就是圆心，的长是抛物线的通径长，从而易求得；

（2）点，，把直线方程与抛物线方程联立，消去得的一元二次方程，由韦达定理得，从而可得，设动点，求出到直线的距离，利用基本不等式可求得它的最小值，从而得三角形面积的最小值．

(1)由题意得，圆的半径，解得：

故抛物线的方程为.

(2)设点，，由直线过抛物线的焦点，

联立得，

故，所以

由点为曲线上的动点，设点，点到直线的距离

，

由，故

当且仅当，即时，取等号，所以，

∴，

故面积的最小值为.