Question

已知椭圆C：上的点到右焦点F的最大距离为，离心率为．

求椭圆C的方程；

如图，过点的动直线l交椭圆C于M，N两点，直线l的斜率为，A为椭圆上的一点，直线OA的斜率为，且，B是线段OA延长线上一点，且过原点O作以B为圆心，以为半径的圆B的切线，切点为令，求取值范围．

Answer

(1)；(2)．

【解析】

依题，结合离心率求得a与c的值，再由隐含条件求得b，则椭圆方程可求；

由已知可得直线l的方程，与椭圆C：联立，化为关于x的一元二次方程，利用弦长公式求得弦，写出OA所在直线方程，与椭C：联立求得，得到，利用换元法求得的范围，把转化为含的代数式求解．

依题，，

解得，，

．

椭圆C的方程为；

由已知可得直线l的方程为：，与椭圆C：联立，

得，由题意，

设，，则，．

弦，

OA所在直线方程为，与椭C：联立，解得，

．

．

令，则，

则，

得到，

．

令，由知，，换元得：

，其中．

．