Question

如图，在三棱锥中，平面，，，，，分别是，的中点.

（1）求三棱锥的体积；

（2）若异面直线与所成的角为，求的值.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

（1）三棱锥P﹣ABC中，由PA⊥平面ABC，AC⊥AB，利用VP﹣ABC•PA能求出三棱锥P﹣ABC的体积．

（2）取AC中点F，连接DF，EF，则AB∥DF，得∠EDF（或其补角）就是异面直线AB与ED所成的角θ，由此能求出tanθ．

（1）三棱锥P﹣ABC中，

∵PA⊥平面ABC，AC⊥AB，AP＝BC＝4，∠ABC＝30°，D、E分别是BC、AP的中点，

∴AC＝2，AB＝2，

所以，体积VP﹣ABC•PA．

（2）取AC中点F，连接DF，EF，则AB∥DF，

所以∠EDF（或其补角）就是异面直线AB与ED所成的角θ．

由已知，AC＝EA＝AD＝2，AB＝2，PC＝2，

∵AB⊥EF，∴DF⊥EF．

在Rt△EFD中，DF，EF，

所以，tanθ．