Question

在平面直角坐标系中，为坐标原点，C、D两点的坐标为,曲线上的动点P满足.又曲线上的点A、B满足.

（1）求曲线的方程；

（2）若点A在第一象限，且，求点A的坐标；

（3）求证：原点到直线AB的距离为定值.

Answer

（1）（2）（3）证明见解析

【解析】

（1）由，知，曲线是以、为焦点，长轴的椭圆，即可求曲线的方程（2）设直线的方程为，则直线的方程为，与椭圆方程联立，由知，即可求点的坐标（3）分类讨论，设直线的方程，与椭圆方程联立，求出原点到直线的距离，即可证明原点到直线的距离为定值．

（1）由，知，曲线E是以C、D为焦点，长轴的椭圆，

设其方程为，则有，

∴曲线E的方程为

（2）设直线OA的方程为，则直线OB的方程为

由则得，解得

同理，由则解得.

由知，

即

解得，因点A在第一象限，故，

此时点A的坐标为

（3）设，，

当直线AB平行于坐标轴时，由知A、B两点之一为与椭圆的交点，

由

解得，

此时原点到直线AB的距离为，

当直线AB不平行于坐标轴时，设直线AB的方程，

由得

由得

即

因

代入得即

原点到直线AB的距离.