Question

对于数列，称（其中）为数列的前k项“波动均值”.若对任意的，都有，则称数列为“趋稳数列”．

（1）若数列1，，2为“趋稳数列”，求的取值范围；

（2）若各项均为正数的等比数列的公比，求证：是“趋稳数列”；

（3）已知数列的首项为1，各项均为整数，前项的和为. 且对任意，都有， 试计算： （）．

Answer

（1）（2）证明见解析，(3)

【解析】

（1）由新定义可得，解不等式可得的范围；（2）运用等比数列的通项公式和求和公式，结合新定义，运用不等式的性质即可得证；（3）由任意，，都有，可得，由等比数列的通项公式，可得，结合新定义和二项式定理，化简整理即可得到所求值．

（1）由题意，即，

解得 ，

（2）由已知，设，因且，故对任意的，都有，

∴ ，

因∴

∴,,,,,

∴，

∴

∴

∴

即对任意的，都有，故是“趋稳数列”，

(3) 当时，

当时，

∴

同理，，

因

∴

即 ，

所以 或

所以 或

因为，且，所以， 从而，

所以

.