Question

在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，，，，点是的中点.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer

（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）取中点，连结，，证明四边形为平行四边形得到答案.

（2）证明平面，如图建立空间直角坐标系，平面的法向量，面的法向量，计算夹角得到答案.

（1）取中点，连结，.

因为为中点，所以，.

因为，.所以且.

所以四边形为平行四边形，所以.

因为平面，平面，

所以平面.

（2）取中点，连结.因为，所以.

因为平面平面，平面平面，平面，

所以平面，取中点，连结，

则.以为原点，如图建立空间直角坐标系，

由，则，，，，，

，.平面的法向量，

设平面的法向量，由，得.

令，则，.由图可知，

二面角是锐二面角，所以二面角的余弦值为.