Question

已知点，在圆：上任取一点，的垂直平分线交于点.（如图）.

（1）求点的轨迹方程；

（2）若过点的动直线与（1）中的轨迹相交于、两点.问：平面内是否存在异于点的定点，使得恒成立？试证明你的结论.

Answer

（1）

（2）存在，证明见解析

【解析】

（1）利用垂直平分线的性质可得，从而得到点的轨迹是以，为焦点的椭圆；

（2）先考虑当直线轴和直线轴的情况得到定点；再考虑对直线的一般情况都有点满足题意.

（1）依题意得，，

故点的轨迹是以，为焦点的椭圆，

，，，

因此，所求的轨迹是椭圆：.

（2）当直线轴时，由得知点在轴上，可设.

当直线轴时，，，由得

，或.

因此，若存在异于点的定点满足题意，则点的坐标为.

下面我们来证明：对任意直线均有.

当直线的斜率不存在时，由上可知，结论成立.

当直线的斜率存在时，可设直线：，，.

把代入得，

由于点在椭圆的内部，故判别式.所以

，，，

易知点关于轴的对称点为，

而，

又，

所以，

即、、三点共线，

，

综上知，存在异于点的定点满足题意.