Question

菱形中，平面，，，

（1）证明：直线平面；

（2）求二面角的正弦值；

（3）线段上是否存在点使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求；若不存在，说明理由.

Answer

（1）证明见解析（2）（3）存在，

【解析】

（1）建立以为原点，分别以，（为中点），的方向为轴，轴，轴正方向的空间直角坐标系，求出直线的方向向量，平面的法向量，证明向量垂直，得到线面平行；

（2）利用空间向量法求出二面角的余弦值，再由同角三角函数的基本关系求出正弦值；

（3）设，则，利用空间向量求表示出线面角的正弦值，求出的值，得解.

【解析】
建立以为原点，分别以，（为中点），的方向为轴，轴，轴正方向的空间直角坐标系（如图），

则，，，

，，.

（1）证明：，，

设为平面的法向量，

则，即，

可得，

又，可得，

又因为直线平面，所以直线平面；

（2），，，

设为平面的法向量，

则，即，可得，

设为平面的法向量，

则，即，可得，

所以，

所以二面角的正弦值为；

（3）设，则，

则，，

设为平面的法向量，

则，即，

可得，

由，得，

解得或（舍），所以.