Question

已知点，分别是椭圆的左顶点和上顶点，为其右焦点，，且该椭圆的离心率为；

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设点为椭圆上的一动点，且不与椭圆顶点重合，点为直线与轴的交点，线段的中垂线与轴交于点，若直线斜率为，直线的斜率为，且（为坐标原点），求直线的方程.

Answer

（1）（2）

【解析】

（1）依题意表示出，，根据，和离心率为，求出的值，即可求出椭圆方程.

（2）设直线的斜率为，直线方程为，设，中点为，联立直线方程与椭圆方程，消去即可用含的式子表示、的坐标，即可表示出中垂线方程，求出的坐标，最后根据求出参数即可得解.

【解析】
（1）依题意知：，，，，，

则，又，，

椭圆的标准方程为.

（2）由题意，设直线的斜率为，直线方程为

所以，设，中点为，

由消去得

中垂线方程为：

令得.

，

解得.

直线的方程为，

即